第一章绪论¶

经典物理学的困难¶

物理学的两朵乌云: 紫外灾难（Rayleigh-Jeans 公式在高频发散）、Michelson-Morley 实验（证明以太不存在）.

光的波粒二象性¶

黑体辐射

吸收系数 \(A(\lambda,T)\), 辐射本领 \(E(\lambda,T)\)

Kirchhoff 定律

辐射本领和吸收系数的比值是波长（频率）和温度的普适函数, 即 \(\displaystyle\frac{E (\lambda, T)}{A (\lambda, T)}=f (\lambda, T)\).

Stephan-Boltzmann 定律

单位时间内，黑体的单位面积所辐射能量和黑体温度 T 的四次方成正比, 即 \(J=\sigma T^4\).

Wien 位移定律

Wien 公式是基于热力学普适理论和数据提出一个含有两个参数的能量密度经验公式 (只适用于短波) \(\displaystyle\rho(\nu,T)d\nu=c_1\nu^3\exp\left(-\frac{c_2\nu}{T}\right)d\nu\).

Rayleigh-Jeans 公式

结合经典电动力学和经典统计力学的能量均分定理 \(\displaystyle\rho(\nu,T)d\nu=\frac{8\pi\nu^2 }{c^3}k_BTd\nu\).

Planck 公式

能量子假设，\(\varepsilon=nh\nu (n=0,1,2,\cdots)\) 所占比例为 \(\mathrm{e}^{-\varepsilon/k_BT}\) (Boltzmann 因子)，则 \(\overline{\varepsilon }=\dfrac{\sum ^{\infty }_{n=u}e^{-nh\nu/k_{B}T}\cdot nhv}{\sum ^{\infty }_{n=0}e^{-nh\nu/k_{B}T}}=\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1}\) .

将 Rayleigh-Jeans 公式中的 \(k_BT\) 用 \(\bar\varepsilon\) 代替，即得 \(\displaystyle\rho(\nu,T)d\nu=\frac{8\pi\nu^2 }{c^3}\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1}d\nu\).

Planck 公式的应用

Planck 公式可以给出场能密度满足 Stephan-Boltzmann 公式 \(\displaystyle J=\frac{c}{4}\rho(T)=\frac{c}{4}\int_0^{\infty}\rho(\nu,T)d\nu\)，积分可得 \(\displaystyle\sigma=\frac{2\pi^5k_B^4}{15c^2h^3}\). Planck 给出的能量密度分布极值满足 Wien 位移定律. Planck 公式在高频极限下得到 Wien 公式. Planck 公式在低频极限下得到 Rayleigh-Jeans 公式

光电效应

光电效应方程

\(h\nu-W=\frac{1}{2}mv_m^2=eV_{\rm stop}\)

满足质能关系

\(E^2=m_0^2c^4+p^2c^2\)

Compton 效应

入射 \(\rm X\) 射线与静止的自由电子之间发生散射, 散射过程中能量、动量守恒, 散射光子与入射光子的波长满足 Compton 散射公式 \(\(\Delta \lambda =\lambda ^{\prime}-\lambda =\dfrac{h}{m_{e}c}\left( 1-\cos \theta \right)\)\)

光的波粒二象性

波动性：\(\nu\)、\(\lambda(\boldsymbol{k})\)，\(\boldsymbol k=\frac{2\pi}{\lambda} \boldsymbol n\) 粒子性： \(E\)、\(\boldsymbol p\)

Note

对于光子则 \(E=h\nu\,\,,\,\,\boldsymbol p=\hbar\boldsymbol k\)

电子的 Compton 波长

\(\dfrac{h}{m_ec}\)

Bohr 模型¶

Bohr 模型的假设

Stationary State 在定态中电子在原子中只在在稳定的圆形轨道上运动，电子可以运动，但不吸收也发出辐射能量。轨道满足 \(mvr=nX\)
量子跃迁 \(E_f-E_i=\pm\hbar\omega\)
对应原理在大量子数的极限情况下，量子理论逼近经典理论。

根据以上假设可以得出以下结论 ( In Gaussian units )

Speed of electron \(v_n=\dfrac{Ze^2}{n\hbar}=\dfrac{Z}{n}\alpha c\)
Energy level \(E_n=\dfrac{E_1}{n^2}\,E_1=-\dfrac{1}{2}m(\alpha c)^2\)
Orbital radius \(r_n=\dfrac{n^2\hbar}{Zm_\mu(\alpha c)}\,m_\mu=\dfrac{m_em_p}{m_e+m_p}\)
精细结构常数 \(\alpha=\dfrac{e^2}{\hbar c}\approx\dfrac{1}{137}\,\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}(\rm SI)\)

Bohr-Sommerfeld 量子化条件

\(\displaystyle \oint pdq=nh\)

波粒二象性和 de Broglie 波¶

波函数

\(\psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi_0)\)

也可用复数表示 (平面波)

\(\psi(x,t)=Ae^{i(\boldsymbol{k\cdot r}-\omega t)}\)

德布罗意波包

将德布罗意关系代入波函数得到描写自由粒子的平面波 \(\displaystyle\psi=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p\cdot r}-Et)}\)

但并不适用于电子 (电子并不是自由粒子) 需要用波包描述.

德布罗意波 ( 物质波 ): 粒子也具有波动性

\(E=\hbar \omega,\quad\boldsymbol{p}=\hbar\boldsymbol{k}\rightarrow\lambda=h/p\)

电子波动性的实验

戴维森-革末实验、汤姆孙实验

第一章 绪论¶